Jocul lui Hotelling sau “De ce statiile de benzina au concurenti situati in apropiere?”

Jocul lui Hotelling sau “De ce statiile de benzina au concurenti situati in apropiere?”

mai 25, 2008 at 7:57 pm (Diverse)

When i promise smth, i keep my promise:).

Why I write my beginning in English and not Romanian? I had to make a project for Game Theory at college (and the project was a good part of my final grade, so i started sniffering around on te internet about articles on game theory. This is how i found Presh Talwalkar’s blog and his posts related to game theory. I picked Hotelling’s
Game, or Why Gas Stations Have Competitors Nearby.

In a comment, i promised Presh that i will post the Romanian translation here, with a link to his blog.

 

P.S. Reprinted with permission for educational use.

Jocul lui
Hotelling sau “De ce statiile de benzina au concurenti situati in apropiere?”

Sunt sute de statii de benzina in jurul orasului San Francisco in zona
golfului California. Oricine ar putea crede ca statiile de benzina ar trebui sa
fie imprastiate pentru a deservi vecinatati locale. Aceasta idee este, insa, contrazisa
de o situatie comuna. De fiecare data cand mergi la o statie de benzina, aproape
intotdeauna vei gasi o alta in vecinatate, de obicei de cealalta parte a
strazii.

Statiile de benzina sunt foarte concentrate. Pentru a confirma aceasta
parere, am facut o harta cu ajutorul GasBuddy.com, un site care compara pretul benzinei
dintr-o anumita zona. Pe harta de mai jos, numerele indica pretul pe galon (nota: 1 galon = 3,78 litri). Mai mult,
preturile indica si locatia statiilor de benzina. A se remarca grupurile mari
de statii de benzina. Multe preturi sunt unele deasupra celorlalte, indicand
locatia unor statii in imediata apropiere a altora.

 

Nu cred ca aceasta situatie este caracteristica numai zonei golfului
Californiei. Am fost in multe locuri din America si de fiecare data cand vad o
statie de benzina, o alta este chiar dupa colt. Exceptii la aceasta regula sunt
statiile de benzina aflate in zone pustii, ca atunci cand am condus pe langa
lanuri de porumb pentru a vizita Universitatea din Illinois la
Urbana-Champaign.

Fenomenul este partial explicabil datorita concentrarii populatiei.
Statiile de benzina vor fi mai des intalnite in locurile unde cererea este
ridicata, cum sunt orasele, fata de zonele slab populate, cum sunt lanurile de
porumb.

Dar de ce sunt pozitionate statiile de benzina de o parte si de alta a
strazii? De ce nu se imprastie? In mod evident, sunt multi factori in joc.
Optimizarea implica factorul cerere, sectorul imobiliar, estimari ale cresterii
populatiei si, de asemenea, considerente ale ofertei – ca usurinţa de a
realimenta o statie de benzina. Raspunsul este complex, iar orice explicatie pe
care o ofer are propriile probleme.

Cu toate acestea, putem intelege multe lucruri dintr-un joc simplu. Astazi
voi discuta un model cu privire la competitia pentru locatie. Este un model
simplu, care ignora multe consideratii realistice, dar este folositor oricum.
Este interesant pentru ca ia in considerare strategia individuala a unei companii,
profitul si implicatiile asupra eficientei sociale. Acest model a mai fost de
asemenea folosit pentru a explica de ce candidatii politici par identici. O sa
discut pe scurt aceasta aplicaţie spre sfarsitul articolului.

Jocul lui Hotelling

Jocul implica doi jucatori. Fiecare jucator este reprezentat de un stand de
hot dog care se lupta pentru clientii de pe o plaja.
Plaja ipotetica este o fasie dreapta de-a lungul apei, iar clientii sunt uniform
raspanditi. Vom nota marginile, prin conventie, cu -1 si 1.

Standurile de hot-dog concureaza numai pentru locatie (ignoram calitatea
produselor). Fiecare stand va alege o locatie. In functie de localizarea
standurilor, clientii il vor alege pe cel mai apropiat de ei. Daca standurile
sunt in acelasi loc, clientii vor alege unul la intamplare. De exemplu, daca un
client este la punctul 0,5 si staturile sunt localizate la -1 si 1, clientul va
fi mai aproape de standul de la 1 si va merge acolo. Mai jos este o
reprezentare grafica a jocului. A se remarca marginile plajei si locatiile
pentru fiecare stand de hot dog.

Unde se va pozitiona fiecare stand in final? Deci care va fi echilibrul
Nash al jocului?

Gasirea solutiei (intuitiv)

O modalitate de a rezolva jocul este sa ignoram concurenta. Presupune ca
esti singurul stand de hot dog de pe plaja. Unde ai dori sa te pozitionezi?

Raspunsul este simplu: unde vrei. Esti in situatia de monopol, deci
clientii vor veni la tine indiferent de cat de departe esti. Dac alegi sa te
pozitionezi la unul din capete, clientii vor veni din celalalt capat. E bine sa
fii in situatie de monopol.

Dar daca esti un monopolist paranoic, bunul simt te va impinge spre centru,
punct notat cu 0. Te temi ca pozitionandu-te prea la stanga sau prea la dreapta
plajei vei fi vulnerabil in fata competitiei. Daca favorizezi partea stanga, de
exemplu, un nou intrat s-ar putea localiza spre dreapta, mai aproape de centru,
castigand majoritatea pietei.

In imaginea de mai jos este ilustrat cum cota de piata a unui monopol (cu
albastru) este preluata de un nou intrat pe piata (in portocaliu).

O asemenea problema nu ar fi aparut daca ai fi fost localizat in centru. Un
nou venit, pozitionat fie in dreapta, fie in stanga ta, va castiga mai putin de
jumatate din piata.

Logica arata ca centrul este punctul favorabil. Daca unul din jucatori il
va alege, celalalt il va copia. In consecinta, ambele standuri de hot dog vor
alege punctul 0, de centru.

Logica de mai sus este corecta, desi multi matematicieni ar zice “nu chiar
precisa”. Pentru a intelege mai bine, este necesara parcurgerea demonstratiei
matematice de mai jos. Recomand tuturor sa o rasfoiasca cel putin, de vreme ce
procesul este important in rezolvarea multor jocuri.
Daca alegeti sa o sariti, cititi sectiunea intitulata “optimul social”.

 

Gasirea solutiei (matematic)

Fiecare stand de hot dog alege simultan o locatie, un numar cuprins intre
-1 si 1.
Fiecare stand trebuie sa ia in considerare pozitia celuilalt. Acesta este
factorul cheie in teoria jocurilor – deciziile sunt interdepedente.
Voi diviza problema in 2 etape. Acesta este un proces care poate fi folosit
si pentru rezolvarea altor jocuri.

 

Etapa 1: Gandeste-te la profituri

Imaginati-va 2 standuri localizate la 0.2 si 0.4. Ce parte din plaja ar
castiga fiecare stand? Rapunsul poate fi vazut in diagrama urmatoare. Aceasta
reflecta clientii mai apropiati de primul stand (albastru) si pe cei apropiati
de al doilea (portocaliu).

Uitati cum am realizat desenul: primul stand ii castiga, in mod cert, pe
toti cei situati mai jos de 0,2 (la stanga), iar cel de-al doilea ii ia pe cei
situati mai sus de 0.4 (la dreapta). Clientii sunt imparititi egal in regiunea
de mijloc, la punctul 0.3.
Lungimea liniilor albastra si portocalie reprezinta cota de piata a
fiecarui stand de hot dog. In acest exemplu, primul stand ia 65%, comparativ cu
al doilea care are numai 35%.
Se poate observa ca aceasta locatie nu este un echilibru pentru joc. Daca
al doilea stand se muta mai aproape de mijloc, sa zicem la 0.2, atunci ambele
standuri vor fi pozitionate la fel si isi vor imparti piata 50/50. Bineinteles,
primul stand va contracara mutandu-se.
Este o modalitate matematica de a descrie cum va reactiona un stand la
deciziile celuilalt.

Etapa a doua: Gasirea celei mai bune solutii:

Cea mai buna solutie este acea locatie pe care un stand o alege in mod
optim, in functie de locatia celuilalt stand. Locatia celuilalt stand nu este
cunoscuta, dar este considerata un numar ipotetic de la care se porneste.

 

Pentru a simplifica problema, in loc sa lucram cu cote de piata, hai sa
facem jocul cu suma nula (win-lose, castig-pierdere). Presupunem ca un stand de
hot dog castiga jocul, avand cota majoritara de piata. Presupunem ca al doilea
stand alege o locatie k. Care este cea mai buna solutie pentru primul stand?
Care sunt locatiile care vor aduce mai mult de jumatate din piata? Sunt exact
punctele aflate la mai putin de k de centru. Sunt, de fapt, numerele cuprinse
intre –k si k pe linie.

Daca k=0, adica centrul, atunci singurul si cel mai bun raspuns este sa
alegi centrul.
Cel mai bun raspuns este descris de urmatoarea functie (unde i si j
reprezinta oricare din standurile 1 si, respectiv, 2)

Echilibrul Nash se produce atunci cand ambele standuri aleg cea mai buna
solutie. Acest lucru se intampla cand ambele standuri aleg k=0, exact in
centru, impartind piata. Aceasta situatie poate insemna fie ca castiga amandoi,
fie ca pierd amandoi.

Optimul social

Teoria jocurilor ne spune ce vor face jucatorii. Dar, din nefericire, ce
fac acestia nu este intotdeauna cel mai bun lucru pentru societate.

Echilibrul este o situatie foarte suparatoare pentru multi clienti.
Standurile de hot dog sunt localizate in centrul plajei, in loc sa se imprastie
si sa fie mai aproape de cei care merg la plaja. De fapt, daca standurile ar fi fost
imprastiate pe intreaga plaja (la punctele -0.33 si 0.33) atunci toata lumea ar
fi fost mai fericita. Ambele standuri de hot dog inca ar avea cate 50% din
piata, dar mai multi clienti vor fi mai aproape de ele.

 

 

De ce acest optim social nu este sustenabil?

In lipsa obligativitatii, exista tendinta de a devia. Unul dintre standuri
s-ar putea pozitiona spre mijloc si ar castiga mai multi clienti. Bineinteles,
celalalt va reactiona, iar jocul va continua pana cand ambele vor ajunge din
nou in centru.

Statiile de benzina si alte
exemple

Modelul sugereaza de ce competitorii par intotdeauna a se pozitiona atat de
aproape unul de celalalt si concureaza pentru teren. Ganditi-va la companiile
de fast-food, supermarketuri si magazinele de inchiriat filme. Aproape
intotdeauna le vedeti adunate, chiar daca ar fi fost mai bine sa se imprastie.

Acest model este, de asemenea, aplicat candidatilor politici. Imaginati-va
doi candidati alegand o platforma electorala dintr-o plaja de la -1 (foarte
liberal) la 1 (foarte conservator). Daca alegatorii voteaza candidatul cel mai
apropiat de viziunea lor politica, iar aceeasi candidati sunt imprastiati pe
intreaga plaja, atunci ambii candidati vor converge catre mijloc. Nu este o
surpriza ca politicienii cauta “votul mediu”. Modelul mai explica si de ce este
atat de greu sa faci diferenta intre candidati in timpul campaniei electorale.

Am o alta aplicatie. Cred ca un concept similar exista in cazul stirilor.
Canalele TV concureaza pentru audienta si pot alege stiri destinate oricarui
numar de spectatori. Ar fi bine daca ar prezenta subiecte diferite, insa acest
lucru nu se intampla. Intr-un final avem aceeasi stire prezentata in aproape
toate buletinele de stiri, in loc sa avem sute de alte stiri interesante
prezentate. Acesta este motivul pentru care web-ul este atat de liberalizat.
Intrarea este ieftina, asa ca „standurile” de informatie sunt localizate pe
intreaga plaja. Poti gasi stiri despre orice domeniu care te intereseaza. Este
destul de simplu.

Publicitate